【摘 要】 从将军饮马问题出发，以解析几何的视角讨论了定直线上一动点到直线外两定点的距离之和、差、比、积问题，给出了具体的计算思路与过程.

【关键词】 距离运算;解析几何;思路过程

1 从平面几何角度提出问题

将军饮马问题有着悠久的历史，它是平面几何中的一个重要几何模型，与其相关的内容是各类考试考查的热点，文[1]、文[2]对该问题及其推广作了深入的探讨，该问题的数学表述如下：

问题 已知l为平面内一定直线，a，b为l同侧的两个定点，试在l上找到一个点p，使得pa+pb最小.

以下解法是大家所熟悉的：如图1，作a点关于直线l的对称点a′，连接线段a′b与直线l交于点p，则p点即为要找的点，理由是如果在l上任取其他一点p′，则

p′a+p′b=p′a′+p′b>a′b=pa′+pb=pa+pb，得证.

上述问题为一个动点到两个定点的距离之和问题，这与解析几何中椭圆的定义有些相似，结合原图象及椭圆的定义可知，相当于要在以a，b为焦点的椭圆系中找出一个椭圆，该椭圆与直线l要有交点（这样的椭圆有无数个），同时该交点到a，b的距离之和要最小，根据分析作出图2，结合图象可知，当直线l与椭圆相切时，该切点即为满足条件的点p，理由如下：

根据椭圆的定义得pa+pb=ca+cb=2ca，p′a+p′b=da+db=2da，显然ca<da，得证.

至此我们找到了另一种通过作图来确定点p位置的方法，但该法无法求出点p的坐标，进而无法求得最终答案.为了解决这个问题，我们把通过定点a，b的直线作为x轴，线段ab的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图3所示.

我们将在图3的基础之上来求解点p的坐标，进一步，我们尝试从解析几何的角度解决几个延伸出来的问题.

2 从解析几何视角解决问题

后文2.1-2.3均假设a（-c，0），b（c，0），l：y=kx+m，这里c，k，m均为常数且k≠0.

2.1 椭圆视角下的距离之和问题

问题1 已知l为平面内一定直线，a，b为l同侧的两个定点，点p为直线l上一动点，试求pa+pb的范围，并确定点p的具体位置.

解 如图4，不妨设p（x0，y0），椭圆方程为x2a2+y2b2=1，根据前面分析知pa+pb取最小值时直线l与椭圆切于点p，

则方程组y=kx+m，x0xa2+y0yb2=1表示同一条直线l，比较系数得

x0=-ka2m，y0=b2m. （1）

另一方面，我们有y0=kx0+m，a2-b2=c2. （2）

联立（1）（2）得p-k（m2+c2）m（1+k2），m2-c2k2m（1+k2）.此时（pa+pb）min=2m2+c21+k2;而当p趋于无穷远时，pa+pb趋于无穷大.综上得（pa+pb）∈2m2+c21+k2，+∞.

2.2 双曲线视角下的距离之差问题

问题2 已知l为平面内一定直线，a，b为l同侧的两个定点，点p为直线l上一动点，试求pa-pb的范围，并确定点p的具体位置.

解 如图5，根据三角形两边之差小于第三边可知：p′a-p′b<ab=2c，去绝对值得-2c<p′a-p′b<2c，注意到当p，a，b三点共线时有pa-pb=-2c，因此（pa-pb）min=-2c，此时p-mk，0，那么它的上界是否就是2c呢？

如图6，仿照前文思路知我们要在以a，b为焦点的双曲线系中找出一条双曲线，该双曲线与直线l要有交点（这样的双曲线有无数条），同时该交点到a，b的距离之差pa-pb=de要最大，这要求右顶点e尽可能地靠近右焦点b（双曲线开口尽可能的小），观察图象知，当直线l平行于双曲线的其中一条渐近线时，点p位于直线l右上方无穷远处， 此时lpa∥lpb，满足条件的双曲线开口最小，且点e与点b的距离最近，在这种极限情况下有pa-pb=ac=abcos∠bac，注意到tan∠bac=k，于是abcos∠bac=2c×11+k2=2c1+k2（小于2c）.注意到上面极限的情况取不到等号，因此pa-pb∈-2c，2c1+k2.2.3 阿氏圆视角下的距离之比问题

问题3 已知l为平面内一定直线，a，b为l同侧的两个定点，点p为直线l上一动点，试求papb的范围，并确定点p的具体位置.

在解决该问题前，先介绍以下两个结论：

结论1 如图7，平面内到两定点a，b的距离值之比为定值k（k≠1）的点p形成的轨迹为一个圆，该圆g即著名的阿波罗尼斯圆.特别的，cacb=k（这里c为圆与直线ab的交点），其中a，b互为该圆的反演点，满足 gc2=ga×gb.

结论2 如图8，a，b两点为其对应的阿波罗尼斯圆g的反演点，那么通过a，b两点的所有圆系g′均与圆g正交，即sg⊥sg′（这里s为两圆交点）.

结论1的证明在各期刊与书籍上已屡见不鲜，本文从略，结论2的证明如下：

根据结论1知gc2=ga×gb，又gs=gc，从而gs2=ga×gb，由于s也在圆g′上，故gs为圆g′的一条切線段，即sg⊥sg′，得证.

回到问题3，该题相当于要在以a，b作为反演点的阿氏圆系g中找出一个圆，该圆要与直线l有交点（这样的圆有无数个），同时该交点到a，b的距离之比papb要最小（最大），作出图9、图10可知：当圆g与直线l相切时，切点即为满足条件的点p，理由如下：

在图9中，papb=cacb，p′ap′b=c′ac′b，根据图象知cacb<c′ac′b，因此切点p满足papb为最小值;同理，在图10中的切点p满足papb为最大值.

到此为止，papb范围两端的点p的位置都已经确定，但如何求出坐标呢？以papb取最小值的情况为例，

如图11，根据结论2知，pg为通过a，b的圆系g′的切线段，即pg⊥pg′，又pg⊥直线l，故圆心g′在直线l上;另一方面，圆心g′显然又落在线段ab的中垂线y轴上，由此我们得到一个以直线l与y轴的交点g′为圆心，g′a为半径的圆，我们要找的点p即圆g′与直线l的交点.

将上述找点过程整理并简化：如图12，以直线l与y轴的交点g′为圆心，g′a为半径作圆，则直线l与圆g′的两个交点p1，p2就是使得papb取到最小、最大值的两个点，注意到g′的坐标为（0，m），a的坐标为（-c，0），且g′a=g′p1=g′p2，则

（0+c）2+（m-0）2=1+k2xp1-0=1+k20-xp2.

解得xp1=-m2+c21+k2，xp2=m2+c21+k2，将其代回直线方程得到p1，p2纵坐标，最后根据两点间的距离公式即得距离之比的范围.

注 上述三个问题中，直线l的斜率k=0与k不存在的情况比较简单，留给读者思考;另外，当a，b为l异侧的两个定点时，只需根据对称性将其中一个点对称到l另一边，即转化为了上述三个问题中的情形，本文不再展开.2.4 卡西尼卵形线视角下的距离之积问题

问题4 已知l为平面内一定直线，a，b为l同侧的两个定点，点p为直线l上一动点，

试求pa×pb的范围，并确定点p的具体位置.

分析 显然pa×pb的值可以趋于无穷大，故只需考虑pa×pb的最小值，我们知道，平面内到两个定点的距离之积为定值的点形成的轨迹为卡西尼卵形线，仿照前文的思路，结合图象知，当直线l与卡西尼卵形线相切时，该切点即为满足最小值的点p，如图13所示.但是，虽然点p的位置确定了，但由于卡西尼卵形线的方程比较复杂，没有一般的切线方程表达式，因此计算过程将十分繁琐，经过思考笔者重新建立适当的坐标系（如图14），试图通过简化点p的坐标（让yp=0）来计算得到结果.

解 如图14，通过建系使得直线l为x轴，a（-a，b），b（a，c）（让a，b两点的横坐标相反，简化运算），设l上的动点p的坐标为p（x，0），则

pa×pb=（x+a）2+b2×（x-a）2+c2=x4+（b2+c2-2a2）x2+2a（c2-b2）x+（a2+b2）（a2+c2）.

令f（x）=x4+（b2+c2-2a2）x2+2a（c2-b2）x+（a2+b2）（a2+c2），则

f′（x）=4x3+2（b2+c2-2a2）x+2a（c2-b2）

=4[x3+b2+c2-2a22x+a（c2-b2）2].

令f′（x）=0，即x3+b2+c2-2a22x+a（c2-b2）2=0.

令p=b2+c2-2a22，q=a（c2-b2）2，根据卡丹三次方程求根公式得上述方程的零点，也即原函数的极值点（实根）：x1=3-q2+p327+q24，x2=3-q2-p327+q24，经验证后代回原函数求出最小值即可.3 从整体观点看待几何的关联

初中平面几何中的将军饮马模型、圆幂定理、托勒密定理等著名模型或定理，若能合理地应用到高中解析几何（立体几何）的解题之中，则可巧妙地减少计算量，节约大量的运算时间，关于这方面的研究已有很多;反过来，从解析几何的角度看待平面几何问题，目前则仍以通过建系来解决各类平面几何难题为主，只有部分竞赛生对其有较深了解与体会.从数学史的发展角度来看，平面几何的建立与完善远早于解析几何，而解析几何的发展与平面几何紧密相连，它是在平面几何的基础上逐渐成熟的.实际上，若能从解析几何的角度重新审视历史长河中的经典平面几何问题，则可让初高中之间的几何知识有一个双向的流动与运用，这是一种高观点下研学的有益尝试，这种尝试与合理运用高等数学知识，巧妙架构初等数学与高等数学的桥梁并居高临下看待高考题有着异曲同工之妙.

参考文献

[1] 徐宏.变的是形式 不變的是本质——例谈一类几何最值问题＼[j＼].中学数学杂志，2017（06）：53-56.

[2] 扈保洪.“将军饮马”型问题的一种推广＼[j＼].中学数学杂志，2016（06）：51-53.

作者简介 楼思远（1989—），男，浙江义乌人，中学高级教师，全国高中数学联赛优秀教练员;主要研究数学教育、数学竞赛;发表论文20余篇.