◎李 安

(广东省佛山市三水区实验中学，广东 佛山 528100)

数列求和是在数列的概念、通项公式、等差(等比)数列及其前项和等知识的基础上自然生成的内容，它既是对上述基础知识的运用，又是培养学生观察、联想、变形、转化等数学能力，提高学生探寻规律意识,培养学生创新能力的良好素材《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出，数学学科的核心素养包括数学抽象、 逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析数列求和不仅能考查学生的学科核心素养，还能考查学生观察、归纳、转化和创新等能力

中学数学的内容都有本质的精简性、思想的朴实性，本源上都是自然且直观的数列求和是研究具有一定规律的一列数的求和，其本源是探究基于数列代数结构特征的化简过程，即将数列的前项和刻画为关于项数的函数表达式

好的数学教学的根本标准是“数学育人”，而数学的学科性质决定了数学育人方式的与众不同研究一个数学对象需要“基本套路”，学生学会这样的“基本套路”将对其终身发展产生很大的影响基于等差(或等比)数列代数结构特征的本源，我们可归纳出数列求和的以下套路化方法

基于等差、等比数列通项公式与前项和公式的代数结构特征，直接利用公式求和

a.=2-1 b.=3-2

c.=4-3d.=3-2

{}为等差数列,{}为等比数列，则数列{·}的求和是基于数列{·}通项·的代数结构特征，利用等比数列求和的程序化过程——错位相减法求和

2(2020年高考数学全国Ⅰ卷理科第17题)设{}是公比不为1的等比数列，为，的等差中项

(2)若=1，求数列{}的前项和

由题设，可得=(-2)-1

设数列{}的前项和为，则

=1×(-2)+2×(-2)+3×(-2)+…+(-1)×(-2)-2+×(-2)-1， ①

-2=1×(-2)+2×(-2)+3×

(-2)+…+(-1)×(-2)-1+×(-2)， ②

①-②，得3=1×(-2)+[1×(-2)+1×(-2)+…+1×(-2)-1]-×(-2)

已知等差数列{}的首项为、公差为，等比数列{}的首项为、公比为(≠1)，则数列①{(-1)}、数列②{}的求和({}满足++1=或++1=)都是基于数列通项的代数结构特征进行并项求和，具体程序化过程如下

对于数列①{(-1)}：设数列{(-1)}的前项和为，则：

当为偶数时：当为奇数时：

=-+-+-…--1+

=(-+)+(-+)+…+(--1+)

=-+(-)+(-)+…+(-1-)

对于数列②{}：{}满足++1=或++1=，设数列{}的前项和为，则：

当为偶数时：++1=当为奇数时：

=++++…+-1+

=(+)+(+)+…+(-1+)

=++…+-1

=+(+)+(+)+…+(-1+)

=+(++…+-1)

1已知{}的通项公式为=(-1)(3-2)，则=( )

a.15 b.12 c.-12 d.-15

由=(-1)(3-2)，得

2=6-2,2-1=-6+5,

∴2-1+2=3,

即+=3,+=3,+=3,+=3,+=3,

∴=3×5=15

故选a

3(2017年高考数学新课标Ⅲ卷文科第17题)设数列{}满足+3+…+(2-1)=2

已知数列{},{}的通项公式，则数列{±}的求和是基于通项±的代数结构特征进行分组求和

即2-1=1,2=，

∴++…+22=×1+×+×1+×+…+2-1×1+2×

=(++…+2-1)+(×+×+…+2×)

=3×[1+3+…+(2-1)]+6×(1×3+2×3+…+×3)

近几年高考数学全国卷在数列求和问题中设计了考查思维能力的新情境问题，加大了试题的灵活性，立足于“多考一点想，少考一点算”，以减少学生死记硬背和“机械刷题”的现象此类问题求解的本源是基于新情境数列的结构特征，通过观察、归纳、挖掘、重构数列各项间的规律进行求和

5已知公比大于1的等比数列{}满足+=20,=8

(2)记为在区间(0,](∈)中的项的个数，求数列{}的前100项和

由题设，可得=2，则有：

苏联数学教育家奥加涅相在《中小学数学教学法》一书中指出：“必须重视,很多习题存在着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可能性……从解本题到转向独立地提出类似的问题和解答这些问题,这个过程显然在扩大解题的‘武器库’,学生利用类比和概括的能力在形成，辩证思维的独立性以及创造思维性的素质也在发展”显然，数列求和问题中的“情境”可以变换，但其本源是通过设置一定的“情境”对数列进行重构而产生新的规律，使习题潜在的发展功能和教育功能得到扩大，使学生的认知能力、辩证思维的独立性以及创造思维性的素质得到了发展，自然也就获得了解决一类问题的方法

2(2020年高考数学全国Ⅰ卷文科第16题)数列{}满足+2+(-1)=3-1，前16项和为540，则=________

由+2+(-1)=3-1，得

当为奇数时，+2=+3-1；

当为偶数时，+2+=3-1

设数列{}的前项和为，

则=++++…++

=(+++…+)+(+++…+)

=[+(+2)+(+8)+…+(+38)]+

[(+)+(+)+(+)+(+)]

=[+(+2)+(+10)+(+24)+(+44)+(+70)+(+102)+(+140)]+(5+17+29+41)

=8+392+92=8+484

∵数列{}的前16项和为540，∴8+484=540，

∴=7

3(2016年高考新课标Ⅱ卷理科第17题)为等差数列{}的前项和，且=1，=28记=[lg]，其中[]表示不超过的最大整数，如[09]=0,[lg 99]=1

(2)求数列{}的前1000项和

由题设条件可求得数列{}的通项公式=，则有：

当1≤