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向量在几何中的应用

栏目:文化教育发布:2022-11-08浏览:2657下载266次收藏

王宁齐

摘 要:向量作为数学中重要的内容之一,具有几何形式和代数形式的双重性质,也是数与形之间转换的重要桥梁。因此,向量在几何中具有广泛的应用,可以说是解答几何问题的有力工具。本文以向量的涵义为出发点,通过实例分析了向量在平面几何、解析几何和立体几何这三个方面的应用,以充分显示向量独特的优势。

关键词:向量;几何;应用

中图分类号:g632 文献标识码:b 文章编号:1002-7661(2017)05-234-01

一、向量

向量是可以用带箭头的线段来表示的既具有大小又具有方向的量,其中箭头指示的方向就是向量的方向;线段的长度就是向量的大小。

二、向量在几何中的应用

向量是形与数的高度统一,它既具有几何的直观,又具有代数运算的简便。所以,向量在几何中的作用是非常重要的。接下来我们通过实例从平面几何、解析几何和立体几何这三个方面讨论下向量的应用。

(1)向量在平面几何中的应用

利用向量解决平面几何的问题,一般分为几个步骤:一是将题设和结论中的条件转化成合适的向量;二是确定相应的基底向量,并利用基底向量代替其他向量;三是利用向量的运算,比如数量积和向量的加减法来进行解题。

1.证明三点共线

例1:已知△abc,p、q分别是其两边ab、ac的中点,在bq的延长线上取一点m,使qm=bq,在cp的延长线上取一点n,使pn=cp。求证:m、a、n三点共线。

首先看到结论三点共线 ,我们要想到相关的结论:平面上三点a、b、c三点共线 = 。接着设 = , = ,那么 = , = ,由此可以得到 = = - , = = - ,所以- = + , =-( + - )=-( - )= - ,同样- = + =-( + - )= - ,所以 = - ,也就是说 = ,因此 // ,而且它们有公共点a,所以m、a、n三点共线。

2.证明平行问题

例2:证明四边形各中点所得到的四边形是平行四边形。

要证明平行四边形,只需要证明一组对边平行且相等,也就是它们对应的向量相等就可以。首先作一个四边形abcd,m、n、p、q分别是ab、bc、cd、da的中点,证明mnpq是平行四边形。接着连接ac,因为m、n分别是ab、bc的点,所以 = + = + = ( + )= ,同理推出 = ,所以 = ,那么mn//qp且mn=qp,所以四边形mnpq是平行四边形。

(2)向量在解析几何中的应用

向量具有代数和几何的双重性质,数与形是结合在一起的,而解析几何也是数与形的结合,所以向量与解析几何之间有着密切的联系。

1.夹角的问题

例3:已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率e= ,点a与点f分别是双曲线的左顶点与右焦点,b(0,b),求∠abf的大小。

根据已知条件,设a(-a,0),f(c,0), =(-a,-b), =(c,-b),由e= = 推出c= 。 · =-ac+b2=-ac+c2-a2=a2(e2-e-1)=a2[( )2- -1)]=0,所以 ,即ba bf,∠abf=90°。

2.坐标取值范围的问题

例4:已知椭圆 + =1的焦点分别是f1,f2,m是其上的动点,当∠f1mf2是钝角时,求点m横坐标的取值范围。

根据已知条件知道f1(- ,0),f2( ,0),设m(3cosθ,2sinθ), =(- -3cosθ,-2sinθ), =( -3cosθ,-2sinθ),那么 · =9cos2θ-5+4sin2θ=5cos2θ-1

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