我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。

一、圆锥曲线的性质

1. 圆锥曲线焦点位置的判断

（1）椭圆：由，分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 （答：）

（2）双曲线：由，项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

2. 椭圆的性质

定义1平面内与两定点f1、f2的距离的和等于常数2a（2a>|f1f2|）的动点p的轨迹叫做椭圆。即：│pf1│+│pf2│=2a。

定义2 椭圆的第二定义，准线方程及离心率。

动点m（x，y）与定点f（-c，0）的距离和它到定直线l： x=-的距离的比是常数，（a>c>0）时，m点的轨迹即为椭圆。即到定点距离与到定直线的距离的比等于定值e（0

定理1 设ab是椭圆的右焦点弦，准线与x轴的交点为，则小于。

定理2 设椭圆与一过交点的直线交于a（x，y），b（x，y）两点，则│ab│称为弦，且│ab│=│x-x│。

定理3 设椭圆与一过交点且垂直于长轴的直线交于a，b，两点，则│ab│称为通径，│ab│=。

3. 双曲线的性质

定义1 平面内一动点p与两个定点f1，f2的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线. 即=2a，标准方程为。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距.。通常│f1f2│记为2c， 正常数记为2a.。

定义2 双曲线的第二定义，准线方程及离心率。

动点m（x，y）与定点f（-c，0）的距离和它到定直线l： x=-的距离的比是常数，（a>c>0）时，m点的轨迹即为双曲线。即到定点距离与到定直线的距离的比等于定值e （0定理1 渐近线是双曲线特有的性质，即无限接近但不可以相交，当焦点在x轴上时，双曲线渐近线的方程是y=x；当焦点在y轴上时，双曲线渐近线的方程是y=x。

定理2 当半实轴长=半虚轴长（即a=b，）时，双曲线称为等轴双曲线，渐近线方程为y=x，其标准方程为x^2-y^2=c，其中c≠0；离心率e=

4. 抛物线的性质

定义1 平面内与一个定点f和一条直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点f叫做抛物线焦点，直线l叫做抛物线准线。

定义2。定点f不在定直线l上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值离心率e不同，当e=1时为抛物线，当01时为双曲线。

定理1 抛物线的过焦点的所有弦中，以抛物线的通经为最短。

定理2 设ab是抛物线的长为m的动弦，则

（1） 当（通径长）时，ab的中点m到x轴的距离的最小值为；

（2） 当（通径长）时，ab的中点m到x轴的距离的最小值为。

定理3 抛物线焦点弦：设过抛物线的焦点f的直线与抛物线交于a（x，y2），b（x，y2）两点，直线oa与ob的斜率分别为k1，k2，直线l的倾斜角为a，则有x1，y2=-，x1，x2=，k1，k2=-，=，=，=，=++p。

例1. （1）已知一抛物线的标准方程是，则求此抛物线的准线方程及它的焦点坐标；

（2）已知抛物线的焦点坐标是 ，求它的标准方程。

解：（1）因为，所以准线方程是.焦点坐标是，

（2）由题可知所求抛物线的焦点在轴负半轴上，且，，则所求的抛物线的标准方程就为

二、圆锥曲线在生活中的应用

圆锥曲线是描述各大星系围绕运行的曲线，也是现实当中随处可见的曲线，再者圆锥曲线的光学性质在日常生活当中运用甚多。

例2 如图，我国年月日发射的第一颗人造地球卫星——“东方红”号，是以地心为一个焦点的椭圆。已知人造地球卫星的近地点（距地面最为近的点）与地面之间的距离为，远地点（距地面的距离最近的点）与地面之间的距离为，且、、都在同一直线上，地球半径大约是，求卫星运行的轨道方程（精确到）.[图1

]

解：如图1建立直角坐标系，让点、、在轴上，且为椭圆的右焦点（则记为左焦点）。

由于椭圆的焦点在轴上，则假设它的标准方程为：

则，

.

解：，.

所以b===

用计算器求得，因此，卫星的轨道方程是

三、圆锥曲线的光学性质和应用

一只灯泡散出的光，会以灯光为点形成球形射出，然而，灯泡装在手电筒里以后适当的调节，就能射出一束比较强的平行光线，这到底由什么原理组成的呢？

其实在电筒离得小灯泡的身后就有一面反光镜，这面镜反光镜的镜面的形状是一个由我们如上所述抛物线的原理，即绕着它的轴旋转[图2] 而得到的一個曲面【8】（如图2所示）这个面就被称为抛物面。经证明，抛物线有一重要的性质即从焦点射发出的光线，在经抛物面反射后，其反射光线就会平行于抛物线的对称轴。探照灯也是利用这个原理设计的。