寇玉琴

二项分布是离散型随机变量中继“两点分布”“超几何分布”后的又一常见的、重要的随机变量的概率分布.其分布的特殊性以及与组合、概率等的综合性，使它成为近几年高考中的高频考点. 本文从二项分布的概念、二项分布的三种常见题型两个大方面出发，列举几个典型范例加以解读，以期帮助读者有效掌握二项分布知识，准确解答二项分布问题.

辨析二项分布模型，正确写出分布列

例1 在一次数学考试中，第[22]题和第[23]题为选做题. 规定每位考生必须且只需在其中选做一题. 设[4]名学生选做每一道题是相互独立的，且选做每道题的概率均为[12].

（1）求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；

（2）设这[4]名考生中选做第[22]题的学生个数为[ξ]，求[ξ]的分布列.

解析 （1）设事件[a]表示“甲选做第[22]”，事件[b]表示“乙选做第[22]”，

则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“[ab+ab]，且事件[a，b]相互独立.

故[p（ab+ab）=p（a）p（b）+p（a）p（b）]

[=12×12+（1-12）×（1-12）=12].

（2）由题意知，随机变量[ξ]的可能取值为[0，1，2，3，4，]且[ξ～b（4，12）].

则[p（ξ=k）=ck4（12）k（1-12）4-k=ck4（12）4， k=0，1，2，3，4].

故变量[ξ]的分布列为

点评 题目中“[4]名学生选做每一道题是相互独立的，且选做每道题的概率均为[12]”，说明了它是4次独立重复试验，并且每次事件发生的概率都是[12]. 因此它符合二项分布的两个条件，是典型的二项分布模型.

例2 在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有[3]个白球和[2]个黑球，乙箱子里装有[1]个白球和[2]个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出[2]个球，且每次游戏结束后将球放回原箱. 若摸出的白球不少于[2]个，则获奖.

（1）求在一次游戏中摸出[3]个白球的概率；

（2）在两次游戏中，记获奖的次数为[x]，求[x]的分布列.

解析 （1）记“在一次游戏中摸出[3]个白球”为事件[a]，事件[a]的概率为[p（a）]，

则[p（a）=c23c12c25c23=15].

故在一次游戏中摸出3个白球的概率[15].

（2）记“一次游戏获奖”为事件[b]，事件[b]的概率为[p（b）]，

则[p（b）=c23c22+c13c12c12+c23c12c25c23=710].

而获奖次数为[x]的所有可能取值为0，1，2，

由题意知，[x～b（2，710）].

[p（x=0）=310×310=9100]，

[p（x=1）=c12×710×310=2150]，

[p（x=2）=710×710=49100].

则[x]的分布列为

[[x] 0 1 2 [p] [9100] [2150] [49100] ]

点评 “每次游戏结束后将球放回原箱”点明了是有放回地[n]次摸球试验，这是典型的二项分布模型. 值得注意的是，有时超几何分布在产品数量[n]相当大时，也可以近似地看成二项分布.

判断某随机变量是否服从二项分布，要看两点：（1）是否为[n]次独立重复试验，在每次试验中事件[a]发生的概率是否均为[p]；（2）随机变量是否为在这[n]次独立重复试验中某事件发生（不发生）的次数.

掌握二项分布概念，会计算期望和方差

例3 （1）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在[2]次试验中成功次数[x]的均值是 .

（2）一批产品的二等品率为[0.02]，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取[100]次，[x]表示抽到的二等品件数，则[d（x）=] .

解析 （1）由于同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，

所以这次试验成功的概率是[p=1-（12）2=34].

因此在2次试验中成功的次数[x～b（2，34）].

则[e（x）=2×34=32].

（2）由题意知，该事件满足独立重复试验，是一个二項分布模型，其中[x～b（100，0.02）]，[p=0.02，n=100].

则[d（x）=100×0.02×0.98=1.96].

点评 这道题的选材来源于生活，是同学们熟悉的背景，容易入手. 题目中“有放回地抽取”就说明了它是二项分布模型. 另外，本题考查的是二项分布的期望与方差，直接用公式计算比较简单.

明确交汇知识，建立数学模型

例4 近几年来，某地区经常出现雾霾天气，学校为了学生的健康，对课间操活动做了如下规定：课间操时间，若有雾霾，则停止组织集体活动；若无雾霾，则组织集体活动. 预报得知，这一地区在未来一周从周一到周五[5]天的课间操时间出现雾霾的概率是：前[3]天均为[50]%，后[2]天均为[80]%，且每一天出现雾霾与否是相互独立的.

（1）求未来一周[5]天至少一天停止组织集体活动的概率；

（2）求未来一周[5]天不需要停止组织集体活动的天数[x]的分布列；

（3）用[η]表示该校未来一周[5]天停止组织集体活动的天数，记“函数[f（x）=x2-ηx-1]在区间[（3，5）]上有且只有一个零点”为事件[a]，求事件[a]发生的概率.endprint

解析 （1）未来一周[5]天都组织集体活动的概率是：[p=（12）3（15）2=1200]，

则至少有一天停止组织集体活动的概率是：[1-p=199200].

（2）由题意知，[x]的取值是[0，1，2，3，4，5].

[p（x=0）=225]，

[p（x=1）=（12）3×c12×45×15+c13×（12）3×（45）2=725]，

[p（x=2）=c23×（12）3×（45）2+c13×（12）3×c12×15×45]

[+（12）3×（25）2=73200，]

[p（x=3）=c13×（12）3×（15）2+c23×（12）3×c12×15×45] [+（12）3×（25）2=43200，]

[p（x=4）=c23×（12）3×（15）2+（12）3×c12×15×45=11200]，

[p（x=5）=（12）3×（15）2=1200].

則不需要停止组织集体活动的天数[x]的分布列如下表.

（3）因为函数[f（x）=x2-ηx-1]在区间[（3，5）]上有且只有一个零点，且[0≤η≤5]，

所以[f（3）f（5）