(包头轻工职业技术学院，内蒙古 包头 014035)
摘 要： 在经典理论的基础上，详细讨论了量子热容理论，通过与实验结果的比较，进一步加 深了对这一概念的正确理解。 
关键词：热容；德拜温度；爱因斯坦特征温度；光学波；长声学波
中图分类号：o482.2  文献标识码：a  文章编号：1007—6921(2008)18—0082—02

热容是反映物体热学性质的重要物理量，研究固体热容有助于我们深入了解固体的热学性质 。因此，固体热容的研究在固体理论中占有重要地位。固体热容理论的建立经历了由经典理 论到量子理论的发展过程。
1 固体热容的经典理论

热容是与系统能量有关的重要物理里量，它的大小与物体的性质及传递热量的过程有关，可 以反映出物体的固有属性。固体与我们的生活息息相关，因此研究固体热容就具有十分重要 的意义。

固体中的原子在其平衡位置附近作微振动，假设各原子的振动是相互独立的简谐振动，原子 在一个振动自由度的能量740)this.width=740" border=undefined>，根据能量均 分定理，可得出以下结论：热容量为3nk，是一个与 温度无关的常数。这一结论称作杜隆－珀替定律。该定律与实验结果相比，在室温附近及较 高温度很符合，但在低温时，测得的热容量很小，热容数值随温度降低很快，当温度趋于零 时，热容也趋于零。这种现象是经典统计理论所不能解释的。在量子论建立以后，发现能量 均分定理存在局限性，而需用新公式代替。
2 固体热容的量子理论

根据量子热容理论，各个简谐振动的能量是量子化的，即频率为的振动能量为740)this.width=740" border=undefined>
利用玻尔兹曼统计理论，得到在温度t时的平均能量为［1］：   
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n个原子构成的晶体，晶格振动等价于3n个谐振子的振动，总的热振动能为： 
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引入模式密度d（ω）：单位频率区间的格波振动模式数。由于频率是准连续的，加式可用 积分表示：
则： 
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因此问题的关键是求模式密度，但这又是很复杂的，为了回避这一困难，在求固体热容时， 人们通常采用近似的方法。
2.1 爱因斯坦理论

爱因斯坦应用普朗克量子论带固体中原子的振动，他假定晶体中所有原子都以相同的频率作 振动，这一假定实际上是忽略了谐振子之间的差异，认为3n个谐振子是全同的。由于每一个 谐振子都定域在其平衡位置附近做微振动，振子是可分辨的，遵从玻尔兹曼分布。根据式（ 1）得：   
则：
  
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这与经典统计理论相同。究其原因，这是由于此时能级间距远小于kt，能量量子化效应可忽 略，因此经典统计是适用的。

在低温t《θe时，定容热容量为：
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因此在低温时，定容热容量按指数衰减。当温度趋于零时，定容量也趋于零。这是由于当温 度趋于零时，振子能级间距hω远大于kt，振子由于热运动取得能量hω而跃进到激发态的概 率是极小的，因此平均而言几乎全部振子冻结在基态。

这个结论与实验结果定性符合，但是爱因斯坦固体热容理论在定量上与实验符合得不好。实 验测得的定容热容量，比爱因斯坦理论值趋于零速度慢。这是由于在爱因斯坦理论中作了过 分简化的假设，即：3n个振子都有相同的频率。这忽视了各格波对热容贡献的差异。

按照爱因斯坦温度的定义，可估计出爱因斯坦频率大约为1013hz［1］，相当 于光学支频率。由于格波频率越高，其热振动能越小，爱因斯坦考虑的格波频率很高，其热 振动能很小，对热容的贡献本来不大，当温度很低时，就更微不足道了。因此在其低温度下 ，晶体的热容量主要有长声学波来决定。爱因斯坦把所有格波都视为光学波，实际上没考虑 长声学波在甚低温时对热容的主要贡献，自然会导致其理论热容在甚低