摘要: 在水利水电工程建设中，经常需要准确地量算图纸中的面积，应用于施工招投标及工程完工时工程量结算。电脑技术的发展，为在地图上精确量取地理信息的定量数据提供了方便。可用不同的基本原理、公式来精确量取地图上的面积。介绍一种运用地图投影变换的原理、三次样条函数法以及测量中的加权平差方法，在地图上量取面积的精确算法。
关 键 词: 三次样条函数法;加权平差方法;投影交换;工程图纸
中图分类号: tu20　  文献标识码: a
1 精确量算地图的面积
在水利水电工程施工中，经常需要在地图上量取各种地理信息，如面积、坐标等，但任何地图都不可避免地存在因地图投影而产生的变形。除等积投影外，在图上量算出的图面面积与主比例尺分母平方的乘积并不等于相应的椭球体表面上的面积，而椭球体表面上规则区域的面积是可积的，如某种梯形。基于这种情况，在地图上量算面积，可通过如下方法实现。
（1）运用地图投影变换的理论，把通过数字化仪采集的图上所求区域的边界曲线各点的平面直角坐标x，y反算为大地坐标φ，λ。
（2）运用三次样条函数法，可以根据实地边界曲线的变化来选取支距点，采用符合边界曲线更的数学模型，应用于内外业面积量算中，能提高面积的计算精度。
（3）应用测量中的平差方法，当所量各子区域满布一个由经纬线所构成的大区域时，则对面积量算误差进行以子区域面积为权的加权平差。这样即可使总区域大小不变，又可使子区域量算精度提高一个数量级。
2 几个基本原理的应用过程
2.1 地图投影反解变换
已知地图投影函数的一般公式是:
x=f1 （φ，λ）
y=f2 （φ，λ） （1）
则其反函数式可写作:
φ=f1-1 （x，y）
λ=f2-1 （x，y） （2）
当式（1）确定时，式（2）也随之确定。其中x，y为图上坐标;φ，λ为大地纬度、经度;f 1 、f 2 为单值、连续函数。
如对默卡托投影，则正算式为:
x=r0/c0（q-q 1 ）
y=r0/c0（λ-λ 1 ） （3）
q=th -1 sinφ-e th -1 （esinφ） （4）
r=acosφ/（1-e 2 sin 2 φ）
q=（xc 0 /r 0 ）+q 1  （5）
λ=（yc 0 /r 0 ）+λ 1
ψ=sin -1 thq （6）
φ=ψ+0.192288sin 2 ψ+0.000376sin 4 ψ+…
式（3）～（6）中，q为等量纬度;r 0 为基准纬圈半径;a为椭球体长半轴;e为椭球体第一偏心率。
一般地图投影的解算中，对已知投影的反算式多有介绍。但对于未知投影的地图，或虽知投影，但由式（2）不易求得的投影，只要图上有精确的纬线网，可通过数值变换的方法，将其上各点反算出来。如变换多项式:
x=f 1-1 （φ，λ）=a 0 +a 1 φ+a 2 λ+a 3 φ 2 +a 4 φλ+a 5 λ 2 +a 6 φ 2 λ+a 7 φλ 2 +a 8 φ+a 9 λ 3  （7）
y=f 2-1 （φ，λ）=b 0 +b 1 φ+b 2 λ+b 3 φ 2 +b 4 φλ+b 5 λ 2 +b 6 φ 3 +b 7 φ 2 λ+b 8 φλ 2 +b 9 λ 3
可先在图上均匀采集10个经纬线交点（φ，λ）及相应的（x，y）值，组成线性方程组，用主元消去法或最小二乘逼近来求解各系数ai，bi。
待求面积的图上边界曲线各点，用手工方法量取其图上坐标，并反解经纬度，工作量是非常