[摘要] 本文提出了小型反渗透膜系统优化设计的原始数学模型与经典数学模型；论述了运用现行设计软件进行经典模型的间接求解算法；导出了系统三维设计指标与三维优化解间的映射关系；进而提出了“查表—修正”优化设计模式。该模式是对现行“试算—寻优”设计模式的根本性修正。

[关键词] 反渗透系统、最优化设计、优化数学模型

1、现行系统设计方式及其存在问题

近十年来反渗透技术在国内得到了高速发展[1]，反渗透前处理及膜系统的设计技术与运行技术均得到了快速的提高与广泛的普及。但作为一种高速发展的新技术，仍然存在诸多亟待研究的重大问题。膜系统的设计模式、设计工具及其使用方法就是其中一个典型问题。

反渗透工艺中，膜、壳、泵及附属设备统称为膜系统。多年来进行膜系统设计的工具均为国外各膜厂商提供的专用设计软件。这些设计软件为国内的反渗透技术提供了一个设计平台，有力地推动了该技术的发展。但这类设计软件及其相应的设计模式具有明显的局限性。它们无一例外地采用同一设计模式：根据给定的给水水质、产水量、回收率、膜数量及其排列方式，求解系统工作压力与产水水质，可称为“试算—寻优”设计优化模式。这一设计模式的缺陷为：

⑴　不能保证每一设计方案均为可行解，更不能保证设计方案为最优解。进行膜系统设计时，需要设计者凭着自身经验，通过大量试算、比较计算结果，最终得到较为满意的设计方案。而经验欠缺的设计者面对这一要求往往不得要领甚至无所适从。

⑵　设计者面对的原始工程设计问题是一个优化设计问题，即根据特定的给水水质条件、产水水质与产水量要求，求解最佳膜数量及其排列方式、最大回收率及相应的工作压力。这与现行的“试算—寻优”设计模式相差甚远。

本文试图论证一种理论上较为严谨，使用上简易可行的工程设计模式，以提高目前工程企业的设计水平与计算速度。文中讨论的范围仅限于由18支以下4040膜元件组成的小型反渗透膜系统的优化设计问题。

2、膜系统优化设计的原始数学模型

根据系统工程与运筹学理论，反渗透膜系统的优化设计问题具有如下特征：

⑴ 设计方案的优化问题是一个经济技术比较问题。如果将技术指标处理成限制因素，则优化设计的目标就是系统的总费用最低，其中包括三个内容：投资费最低、运行费最低及耗水费最低。

⑵ 反渗透系统作为一个完整的化学物理系统，存在其特有的内在规律，主要表现为系统产水量与纯驱动压成正比，系统透盐率与膜两侧盐浓度差成正比等。这些系统参数间内在关系的平衡，表现为某些数学方程式，构成了优化模型中的系统约束。

⑶ 系统设计中存在诸多参数值限制，例如系统浓差极化指标最大值限制；难溶盐饱和度最大值限制；防止流通阻力过大的单支膜给水量最大值限制；防止膜表面冲刷流量过小的单支膜浓水流量最小值限制。这些限制构成了优化模型的限值约束。

浓差极化现象与系统运行共生，其指标上限取值偏高时，系统回收率可提高；但将加剧系统性能下降，加快系统结垢，清洗费用上升，膜更换频繁，系统运行费增高。难溶盐饱和度上限取值是系统设计中另一个敏感问题，直接影响系统回收率与膜排列方式，值得认真讨论。目前工程设计中常做如下处理：浓差极化指标上限取1.2，难溶盐饱和度上限取100 %。

⑷ 优化设计要解决的问题在模型中表现为优化变量。其中包括膜元件的品种、数量、排列方式，膜壳的规格与数量，水泵的吨位与扬程以及系统回收率这一重要系统设计指标。

⑸ 原始工程设计问题中给水水质条件、产水水质与产水量要求统称为设计约束。

⑹ 单支膜元件平均产水量设定是系统设计中的敏感问题，该参数取值偏高时，系统用膜数量减少，系统投资费降低；但清洗费用增高，膜更换频繁，系统运行费增高。该值的设定甚至可以构成另一个特定的优化问题。该参数一旦设定，系统中膜数量就仅决定于产水量要求，本文讨论中设单支4040膜元件产水量为每小时0.2吨，

对膜系统优化设计的上述分析，可总结为如下优化设计的原始数学模型：

优化目标  ⑴ 投资费最低　　 ⑵ 运行费最低　　 ⑶ 耗水费最低

系统约束  ⑴ 产水量与膜两侧纯驱动压成正比

⑵ 透盐率与膜两侧盐浓度差成正比

限值约束  ⑴ 给水流量上限　 ⑵ 浓差极化指标上限

⑶ 浓水流量下限　 ⑷ 难溶盐饱和度上限

设计约束  ⑴ 给水水质　　　 ⑵ 产水水质　　　 ⑶ 产水水量

优化变量  ⑴ 元件数量　　　 ⑵ 膜壳规格　　　 ⑶ 水泵规格

⑷ 元件品种　　　 ⑸ 膜排列方式　　 ⑹ 系统回收率

优化变量中膜排列方式可视为整数变量，回收率为连续变量，故该问题是一个典型的多变量、多目标、非线性、混合整数规划问题。由于该模型的复杂性，难于直接求解，但它定义了系统优化设计的基本问题，并为模型的简化提供了基础。

3、膜系统优化设计的经典数学模型

原始模型中的诸多因素可以进行简化处理，以使优化计算成为可行。

㈠ 优化目标的处理

⑴ 耗水费的处理

耗水费除以水价则为给水量，故耗水费最低目标的内涵即为系统回收率最高。

⑵ 投资费的处理

反渗透膜系统投资可分为固定投资与可变投资。固定投资系指结构、管路、阀门、仪表、控制等项投资费用，与优化设计基本无关。可变投资主要包括膜、膜壳、水泵三项投资。因单支膜产水量给定，膜数量与费用决定于系统设计产水量，仍与优化设计无关。以回收率最高为目标的优化计算将使系统给水量最小、水泵吨位要求最低，并使系统工作压力上升、水泵扬程要求升高。但扬程上升导致的泵价上升幅度一般小于吨位下降导致的泵价降低幅度。因此可认为随回收率提高，水泵规格的综合价格成下降趋势，即水泵投资费优化可在回收率最高为目标的系统优化中自然得到满足。膜壳的费用问题中，单壳装膜数量越多，膜壳单位长度价格越低，膜壳总费用越低。系统回收率最高目标下，优化解自然使系统流程尽量加长，单壳装膜数量尽量增多，因此膜壳费用优化也在回收率最高为目标的系统优化中自然得到满足。

⑶ 运行费的处理。

膜系统运行费也可分为维护正常运行的固定费用、膜清洗及更换等半固定费用、水泵电耗等可变费用。固定费用与系统优化无关。系统优化过程自然使浓差极化指标、难溶盐饱和度等参数运行于上限位置，该状态下半固定费用自然蜕变为固定值。系统回收率提高过程中，系统工作压力增加，产水功耗增加，但该过程中电费提高的幅度一般低于水费降低的幅度，即可变费用的影响淹没于回收率目标的影响。

总之，投资与运行的各项费用最低的目标，或与系统优化无关，或在回收率最高目标下自然满足，或被回收率最高目标的影响所淹没，均可从数学模型的目标函数中略去，而系统优化设计目标最终可简化为系统回收率最高的单一目标。

㈡ 限值约束的处理

浓差极化指标与难溶盐饱和度是基本的限值约束项。值得注意的是浓差极化最严重的位置发生在个各段末端，难溶盐饱和度最高的位置发生在系统末端膜表面。目前通行的设计软件只给出系统浓水中难溶盐饱和度是一个严重的不足。

系统设计方案中一般不会涉及膜元件给水流量上限或浓水流量下限。特殊情况可作特殊处理，而为使数学模型概念清晰，模型中可以不出现该约束。

㈢ 非独立变量的消去

原始模型的优化变量中，膜数量仅由系统产水量决定。膜壳的规格、数量决定于膜排列方式。系统回收率、膜品种及排列方式确定后，给水量、给水压力得以确定，进而可确定水泵的规格。因此模型中前三类变量可由其它变量或因素决定，无须作为独立变量存在。

㈣ 独立变量的分解处理

在给水水质已知条件下，膜品种即