【摘要】针对到达时间差算法的定位精度易受监控区域地质条件和周围环境等因素的影响而不能满足威胁评估所需的目标定位精度的问题，提出了基于最小二乘法的泰勒级数展开的定位算法来提高振动目标的定位精度，该算法使用最小二乘算法估计振动初始位置，通过泰勒级数展开算法得到振动坐标。实验结果表明：改进的到达时间差定位算法提高了定位精度、增强了抗干扰能力。

【关键词】到达时间差;最小二乘法;泰勒级数展开;定位算法

引言

威胁评估[1]（threat assessment）已广泛地应用于防线、重要目标（如基地、军事设施、桥梁、监狱等）、重要地区（如古墓遗址、博物馆、银行金库等）等领域。在振动目标的威胁评估研究中，振动目标的定位精度直接决定着威胁评估的准确性。振动目标的定位有有源定位和无源定位两种方法，无源定位以其探测距离远，隐蔽性好，成本低廉等优点[2]成为目标定位的首选。到达时间差定位是无源定位技术中常用的一种方法，但在实际应用中其定位精度受到监控区域地质条件、时钟采样周期以及周圍环境干扰的影响，使得定位性能有所下降，不能满足威胁评估所需的定位精度。因此，本文提出了基于最小二乘法的泰勒级数展开的定位算法来提高振动目标的定位精度。

1.基于三角形阵列的toda定位算法

本文以等腰直角三角形振动传感器阵列为例，采用tdoa定位技术对其振动目标的定位进行研究。tdoa定位（time difference of arrival，tdoa）主要是通过比较多个不同传感器采集到同一目标信号的到达时间不同，来对目标进行定位[3]。tdoa法主要分为两步：第一步是确定各个信号之间的时间延迟;第二步是根据延迟时间确定目标信号的位置。

等腰直角三角形振动传感器阵列布置如图1所示，其中s表示振动目标，m1、m2、m3分别表示三个振动传感器。设其阵边长为d，则阵元坐标分别为m1（0，0）、m2（d，0）、m3（0，d），令tij（1≤i，j≤3）表示振动目标s到达阵元i与阵元j的时间差，相应的振动目标s到达阵元i与阵元j的距离差。假设振动目标坐标为s（x，y），振动波沿直线传播，其传播速度是常数v，则有。

图1 等腰直角三角形传感器阵

图2 振源定位示意图

由图1可得：

方程组中的每个方程都是双曲线的一支，其交点就是目标点。

令，可得：

（2）

其中：

进而可以得出y的值，即采用此法可以对振动目标的位置进行二维定位。

2.基于最小二乘法的泰勒级数展开的tdoa定位算法

friedlander、schsu等人虽提出了基于最小二乘（ls）的定位求解算法，但给出的是次最优解。chan采用二重最小二乘算法给出了定位方程组的非迭代闭式解，在tdoa测量误差比较小时，具有最优估计性能，但随着tdoa测量误差的增加，该算法性能迅速下降[4][5]。

泰勒级数展开算法[6]是求解非线性方程的有效方法，具有精度高、顽健性强等特点。但是它要求迭代运算的初始值必须具有一定的准确度才能够保证比较快的收敛速度，而且算法是否收敛与振动的初始位置有关。本文使用最小二乘算法估计振动初始位置，然后通过泰勒级数展开算法得到振动坐标。图2建立了一个以特定基点为坐标原点（0，0）的二维坐标系。设已知n个接收传感器在此坐标系中的坐标为（i=0，1，2，…，n-1），振动到n个接收传感器的距离值为ri（i=0，1，2，…，n-1）。假定振动发出信号的传播速度为常数c，表示振动到第i个接收传感器与到第0个接收传感器之间的时间差，ri0表示振动到第i个接收传感器与到第0个接收传感器之间的距离差，则ri，0=ri-r0。则可建立n-1个定位方程为：

（3）

其中：，，i=1， 2，…，n-1。

2.1 泰勒级数展开算法

对于一组tdoa测量值，根据选定的初值x（0），y（0），对方程（3）进行泰勒级数展开并忽略二阶以上分量，得到：

（4）

其中：

对式（4）采用最小二乘算法（ls），可以得到的最小二乘估计，其中，q为tdoa测量值的协方差矩阵。

2.2 基于最小二乘的初始坐标选择算法

由上面的分析过程可以看出，泰勒级数展开后迭代过程是否收敛以及收敛速度的快慢直接决定于初始坐标（x（0），y（0））的选择。对此，本文使用最小二乘算法来估计振动的初始坐标。根据文献[7]推导的结果，可以得到如下线性方程组：

（5）

其中：i=1，2，…，n-1

将方程组转化为矩阵形式为：gx=s

其中：

利用最小二乘法得到初始位置：

3.实验结果及分析

实验中传感器分布示意图如图3示，5个传感器阵元组成的五元十字阵，采用100m左右的不规则阵，其接收传感器的坐标分别为：b0（0，0），b1（0，10），b2（-10，0），b3（0，-10），b4（10，0）;与tdoa测量值误差相对应的距离误差的均方差为，实验中取=2m，Δ=0.5m。

图3 传感器分布示意图

图4 tdoa误差对算法精度的影响

图5 两种算法的定位轨迹与振源轨迹的逼近程度

定位精度是衡量定位系统好坏以及算法有效性的重要指标，因此用定位结果的均方根误差来表示定位精度，其中（x'，y'）表示振动的实际坐标，（x，y）表示算法的定位结果。

分两种情况：其中a为tdoa算法;b为改进算法。

（1）设振动的实际坐标为s（5，8），改变tdoa测量误差对应的距离误差的均方差，得到的曲线如图4所示。从曲线的变化趋势可以看出，随着的增大，算法a和b的定位误差逐渐增大。在各种误差均方根的情况下，算法b的定位精度要高于算法a，并且算法b的定位误差随着上升的速度比算法a要慢。

（2）设振动沿y=20的轨迹作匀速运动，x的取值范围为0-60m，取样间隔为10m，tdoa测量误差对应的距离误差的均方差=0.5m。轨迹如图5所示。从图中可以看出，算法b的轨迹更逼近实际轨迹。

4.结束语

改进的到达时间差定位算法，使用最小二乘算法估计振动初始位置，然后通过泰勒级数展开算法得到振动坐标，避免了人为设定初始值造成泰勒级数展开法的不收敛，减小了tdoa测量值误差对定位精度的影响，比基于tdoa的三角形振动传感器阵列定位算法的精度要高、抗干扰能力要强。因此，基于最小二乘法的泰勒级数展开来改进tdoa定位算法对于提高定位精度是有效的，为准确评估监控区域内振动目标的威胁提供了更为精确的目标定位。

作者简介：曾川（1981—），男，现供职于武警警官学院信息工程系，研究方向：无线数据通信、电子技术应用。